Couverture par sous-graphes bipartis complets

En théorie des graphes, le problème de couverture minimum par sous-graphes bipartis complets (ou problème de couverture biclique) est un problème algorithmique qui consiste, étant donné un graphe, à trouver une famille minimale de sous-graphes bipartis complets couvrant ses arêtes, c'est-à-dire telle que chaque arête du graphe d'origine apparaisse dans au moins un sous-graphe de la couverture.

Le problème de décision associé au problème d'optimisation de couverture par au plus $k$ sous-graphes bipartis complets est NP-complet, et ce même si l'on se restreint à la couverture de graphes bipartis.

Couverture par sous-graphes bipartis complets

Définition

Une couverture par sous-graphes bipartis complets d'un graphe $G=(V,E)$ est un ensemble $\lbrace G_{k}=(V_{k},E_{k})|1\leqslant k\leqslant n,V_{k}\subseteq V,E_{k}\subseteq E\rbrace$ de sous-graphes bipartis complets de $G$ tel que pour toute arête $e$ de $G$ , il existe un entier $k\in [\![1,n]\!]$ tel que $e\in E_{k}$ (ces sous-graphes ne sont pas nécessairement deux à deux disjoints).

Propriétés combinatoires

Nombre minimal de sous-graphes couvrants

Étant donné un graphe $G$ , on note $b(G)$ le nombre minimum de graphes bipartis complets couvrant les arêtes de $G$ (aussi appelé dimension bipartie). Pour un entier naturel $n$ , si $G$ est un graphe à $n$ sommets, on a $b(G)\leqslant n-1$ , car on obtient une couverture à au plus $n-1$ sous-graphes bipartis complets en prenant les sous graphes étoiles de $G$ .

On peut donc noter $b(n)$ la valeur maximale des $b(G)$ , où $G$ est un graphe à $n$ sommets. Les $10$ premières valeurs de $b(n)$ sont données par le tableau suivant (on observe bien que $b(n)$ est majoré par $(n-1)$ :

On peut obtenir les premières valeurs de $b(n)$ en étudiant systématiquement les graphes à $n$ sommets.
Pour $n$ plus grand, on peut utiliser les propriétés suivantes :

$b(n)\leqslant b(n 1)\leqslant b(n) 1$
Si G {\displaystyle G} est un graphe possédant deux sous-graphes de sommets disjoints G 1 {\displaystyle G_{1}} et G 2 {\displaystyle G_{2}} , reliés par au plus une arête, alors : b ( G 1 ) b ( G 2 ) ⩽ b ( G ) {\displaystyle b(G_{1}) b(G_{2})\leqslant b(G)}
- Si $n_{1} n_{2}=n$ , alors $b(n_{1}) b(n_{2})\leqslant b(n)$
- En particulier, si pour un certain $n\in \mathbb {N}$ et $a>0$ , $b(n)=an$ , alors pour tout entier $k$ , $akn\leqslant b(kn)$ , et donc $a\leqslant \lim _{n\to \infty }{\frac {b(n)}{n}}$ . Ce comportement et les premières valeurs de $b(n)$ amènent à conjecturer que $\lim _{n\to \infty }{\frac {b(n)}{n}}=1$ , ce qui est en fait vrai.

Plus précisément, il a été démontré par Zsolt Tuza que l'on avait : $b(n)\leqslant n-[\log _{2}(n)] 1$ .

Nombre minimal de sommets couverts

Pour un graphe $G$ , on note $\beta (G)$ la valeur minimale de $\sum _{i=1}^{m}|V_{k}|$ , où $G_{1}=(E_{1},V_{1}),\ldots ,G_{m}=(E_{m},V_{m})$ est une couverture biclique de $G$ . En d'autres termes, $\beta (G)$ désigne le nombre minimal de sommets d'une couverture biclique de $G$ , comptés avec multiplicités. Si $n$ est un entier fixé, on note $\beta (n)$ la valeur maximale de $\beta (G)$ pour les graphes à $n$ sommets. Zsolt Tuza a donné une minoration optimale de la valeur de $\beta (n)$ :

Partition en graphes bipartis complets

Définition

Une partition par sous-graphes bipartis complets est une couverture par sous-graphes bipartis complets où l'on impose que tous les sous-graphes soient disjoints.

Propriétés combinatoires

Théorème de Graham-Pollak

Nombre minimal de sommets couverts

De la même manière que pour la couverture biclique, on peut définir $\alpha (G)$ le nombre minimal de sommets d'une partition biclique d'un graphe $G$ , toujours comptés avec multiplicités. Pour un entier $n$ fixé, on note $\alpha (n)$ la valeur maximale de $\alpha (G)$ pour les graphes à $n$ sommets. Un premier résultat démontré par Fan Chung, Paul Erdős et J. Spencer donne un encadrement des valeurs de $\alpha (n)$ et $\beta (n)$ :

Ce résultat montre en particulier que la minoration de $\beta (n)$ trouvée par Zsolt Tuza est bien optimale.
Il a ensuite été démontré par Paul Erdős et László Pyber qu'il existe une constante $c$ telle que pour tout entier $n$ suffisamment grand, tout graphe $G=(V,E)$ à $n$ sommets admet une partition biclique pour laquelle tout sommet de $G$ est contenu dans au plus $c(n/\log(n))$ sous-graphes de la partition.