Méthode de Culmann

La méthode de Culmann est une méthode de statique graphique inventée par Karl Culmann et qui est utilisée dans le cas de problèmes à quatre forces dont les directions sont connues, une force étant complètement caractérisée. Il s'applique lorsque les forces ne sont pas toutes parallèles ; si les forces sont toutes parallèles, on utilise la méthode du dynamique et du funiculaire.

Principe

La méthode consiste à regrouper les forces deux à deux, les deux forces d'un groupe n'étant pas parallèles. On travaille alors avec la résultante de chaque groupe de force : on se ramène alors à un problème à deux forces d'une part (pour les résultantes), et à un problème à trois forces d'autre part (pour chaque couple et sa résultante).

Considérons un objet soumis à quatre forces ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{3}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{4}}$, telles que

• ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$ est totalement connue, et l'on connaît les directions des trois autres forces ;
• ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$ sont sécantes en I₁₂, et
• ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{3}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{4}}$ sont sécantes en I₃₄.

On choisit les deux couples

• ${\displaystyle ({\vec {\mathrm {F} }}_{1},{\vec {\mathrm {F} }}_{2})}$, dont la résultante est ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{12}}$, et
• ${\displaystyle ({\vec {\mathrm {F} }}_{3},{\vec {\mathrm {F} }}_{4})}$ dont la résultante est ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{34}}$.

On peut donc considérer que l'on a un objet soumis à deux forces. Ces forces sont donc colinéaires (voir Diagramme de forces > Système mécanique soumis à deux forces), on sait donc que ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{12}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{34}}$ ont pour direction la droite (I₁₂I₃₄). Puisque l'on connaît ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$ et que l'on connaît les directions de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$ et de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{12}}$, on peut déterminer entièrement ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{12}}$ à l'aide d'un dynamique (on connaît un des côtés du triangle et les directions des deux autres côtés).

On sait que ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{34}=-{\vec {\mathrm {R} }}_{12}}$, donc on connaît ${\displaystyle {\vec {\mathrm {R} }}_{34}}$ ainsi que les directions de ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{3}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{4}}$. On peut donc de même déterminer entièrement ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{3}}$ et ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{4}}$.

Applications

Cette méthode est souvent utilisée pour déterminer les efforts dans les poutres d'un treillis avec la méthode de Ritter : on isole un sous-ensemble soumis à une charge en coupant trois poutres, on a donc bien quatre forces (la charge et les efforts internes des poutres) dont on connaît les directions.

Le monte-charge représenté ci-contre montre un autre exemple où l'on peut utiliser cette méthode : on connaît entièrement une force (le poids de l'objet), et l'on connaît la direction de toutes les forces (traction du câble, contacts ponctuels des roues du chariot sur le monte-charge).

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