Transfert (théorie des groupes)

Si G est un groupe (au sens mathématique) et Q un sous-groupe d'indice fini de G, on définit un certain homomorphisme, appelé transfert, allant de G dans l'abélianisé de Q, c'est-à-dire dans le groupe quotient Q/Q', où Q' désigne le groupe dérivé de Q.

Définition

Soient G un groupe (au sens mathématique), Q un sous-groupe de G et T une transversale à gauche de Q dans G. Pour tout élément x de G, nous désignerons par ${\displaystyle \ repr_{T}(x)}$ le représentant de x dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à la même classe à gauche modulo Q que x. Nous désignerons par ${\displaystyle \ q_{T}(x)}$ l'élément ${\displaystyle \ repr_{T}(x)^{-1}x}$ de Q. Donc, si x = ab avec ${\displaystyle a\in T}$ et ${\displaystyle b\in Q}$, alors ${\displaystyle \ a=repr_{T}(x)}$ et ${\displaystyle \ b=q_{T}(x)}$.

Notons pour la suite que si Q' désigne le groupe dérivé de Q, le groupe quotient Q/Q' (abélianisé de Q) est commutatif, donc on peut parler du produit d'une famille finie d'éléments de Q/Q' sans préciser l'ordre des facteurs.

On démontre que si G est un groupe et Q un sous-groupe d'indice fini de G, si Q' désigne le groupe dérivé de Q, il existe un et un seul homomorphisme V de G dans le groupe quotient Q/Q' tel que, pour toute transversale à gauche T de Q dans G et tout élément g de G,
${\displaystyle V(g)=\prod _{t\in T}\mathrm {q} _{T}(gt)Q'.}$

On démontre aussi que l'application définie à partir d'une transversale à droite de Q dans G comme V l'est à partir d'une transversale à gauche, est identique à V.

L'homomorphisme V de G dans Q/Q' est appelé le transfert de G dans Q, ou encore le transfert de G vers Q, ou encore le transfert de G vers Q/Q'. On dit aussi « homomorphisme de transfert ».

Remarques.

1. Si Q est commutatif, alors Q' = 1 et le groupe Q/Q' est canoniquement isomorphe à Q. Dans ce cas, on considère que le transfert est un homomorphisme de G dans Q.
2. Comme le groupe d'arrivée Q/Q' de l'homomorphisme transfert G → Q/Q' est commutatif, le dérivé G' de G est contenu dans le noyau du transfert. Donc le transfert induit un homomorphisme de G/G' dans Q/Q', à travers lequel il se factorise et qu'on appelle lui aussi « homomorphisme de transfert ».
3. On désigne couramment le transfert par la lettre V, qui est la première lettre du nom allemand du transfert : Verlagerung.

Théorème d'évaluation du transfert

Le théorème suivant, dit d'évaluation du transfert, facilite souvent l'utilisation du transfert dans les démonstrations :

Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini n de G, V le transfert de G vers Q/Q', T une transversale gauche de Q dans G. Pour tout élément g de G, il existe une partie T_g de T et une famille ${\displaystyle (n_{t}(g))_{t\in T_{g}}}$ de nombres naturels tels que

1. pour tout élément t de T_g, ${\displaystyle t^{-1}g^{n_{t}(g)}t\in Q~;}$
2. ${\displaystyle \qquad \sum _{t\in T_{g}}n_{t}(g)=n=\vert G:Q\vert ~;}$
3. ${\displaystyle \qquad V(g)=\prod _{t\in T_{g}}t^{-1}g^{n_{t}(g)}tQ'.}$

Le théorème d'évaluation du transfert permet par exemple de démontrer le théorème du complément normal de Burnside.

Histoire

Le transfert fut étudié pour la première fois en 1902, par Issai Schur.

Notes et références

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