Nombre taxicab

En mathématiques, un nombre taxicab, ou nombre de Hardy–Ramanujan, est un entier naturel qui peut s'exprimer comme somme de deux cubes strictement positifs de deux façons différentes, à l'ordre des opérandes près. Leur nom provient du fait que le plus petit d'entre eux, 1729, était le numéro d'un taxi dans une anecdote rapportée par le mathématicien Hardy.

On note $\operatorname {Ta} (n)$ ou $\operatorname {Taxicab} (n)$ , le plus petit nombre taxicab qui peut être exprimé de $n$ façons distinctes comme somme de deux cubes strictement positifs. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1938 que de tels nombres existent pour tous les entiers $n$ ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment construire le plus petit.

La suite croissante des nombres taxicab est répertoriée comme suite A001235 de l'OEIS, et celle des $\operatorname {Ta} (n)$ comme suite A011541 de l'OEIS.

Histoire

Godfrey Harold Hardy, mathématicien britannique de la première moitié du XX^e siècle, rapporte l'anecdote suivante, concernant le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan :

« Je me souviens que j'allais le voir une fois, alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
— Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »

En effet, $9^{3} 10^{3}=1^{3} 12^{3}=1729$ . Et Hardy conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes) qu'il « donnait l'impression que chaque entier naturel était un de ses amis personnels ».

D'autres nombres ayant cette propriété avaient été trouvés par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :

${\begin{array}{rrrrr}4104&=&2^{3}& &16^{3}&=&9^{3}& &15^{3}\\20683&=&10^{3}& &27^{3}&=&19^{3}& &24^{3}\\39312&=&2^{3}& &34^{3}&=&15^{3}& &33^{3}\\40033&=&9^{3}& &34^{3}&=&16^{3}& &33^{3}\end{array}}$

$\operatorname {Ta} (2)=1729$ fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657. Les nombres $\operatorname {Ta} (n)$ postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs ; John Leech obtint $\operatorname {Ta} (3)$ en 1957^,, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent $\operatorname {Ta} (4)$ en 1991^, et David W. Wilson trouva $\operatorname {Ta} (5)$ en 1999^,.

$\operatorname {Ta} (6)$ ^, fut confirmé par Uwe Hollerbach sur la NMBRTHRY mailing list en 2008.

Variantes

Autorisation de cubes négatifs

Le n-ième nombre cabtaxi est défini comme le plus petit entier naturel non nul pouvant s'écrire de $n$ façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs. Pour $n=2$ , c'est $91=3^{3} 4^{3}=6^{3} (-5)^{3}$ .

Autres puissances

Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657, et c'est Euler (1707-1783) qui l'a trouvé : $158^{4} 59^{4}=133^{4} 134^{4}=635\,318\,657.$

Nombres

\operatorname {Ta} (n)

connus

Le nombre taxicab d'ordre 1 correspond au plus petit entier décomposable en une unique somme de deux cubes entiers positifs non nuls, à l'ordre des opérandes près. Il s'agit de l'entier 2, représenté par l'équation diophantienne^, :

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3} 1^{3}\end{aligned}}

Les $\operatorname {Ta} (n)$ pour $n$ de 2 à 6 sont :

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3} 12^{3}\\&=9^{3} 10^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3} 436^{3}\\&=228^{3} 423^{3}\\&=255^{3} 414^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3} 19083^{3}\\&=5436^{3} 18948^{3}\\&=10200^{3} 18072^{3}\\&=13322^{3} 16630^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3} 365757^{3}\\&=107839^{3} 362753^{3}\\&=205292^{3} 342952^{3}\\&=221424^{3} 336588^{3}\\&=231518^{3} 331954^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3} 28906206^{3}\\&=3064173^{3} 28894803^{3}\\&=8519281^{3} 28657487^{3}\\&=16218068^{3} 27093208^{3}\\&=17492496^{3} 26590452^{3}\\&=18289922^{3} 26224366^{3}\end{aligned}}

Majorants de nombres taxicab

On connait des nombres décomposables en plus de six manières, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab. L'entier $\operatorname {Ta} (n)$ est le plus petit qui est somme de deux cubes de $n$ façons différentes. Si on trouve un entier $m$ qui est somme de deux cubes de $n$ façons différentes, on a donc $\operatorname {Ta} (n)\leqslant m$ . Les majorants suivants ont ainsi été découverts en 2008 :

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (7)&\leqslant &24885189317885898975235988544\\&=&2648660966^{3} 1847282122^{3}\\&=&2685635652^{3} 1766742096^{3}\\&=&2736414008^{3} 1638024868^{3}\\&=&2894406187^{3} 860447381^{3}\\&=&2915734948^{3} 459531128^{3}\\&=&2918375103^{3} 309481473^{3}\\&=&2919526806^{3} 58798362^{3}\\\\\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (8)&\leqslant &50974398750539071400590819921724352\\&=&299512063576^{3} 288873662876^{3}\\&=&336379942682^{3} 234604829494^{3}\\&=&341075727804^{3} 224376246192^{3}\\&=&347524579016^{3} 208029158236^{3}\\&=&367589585749^{3} 109276817387^{3}\\&=&370298338396^{3} 58360453256^{3}\\&=&370633638081^{3} 39304147071^{3}\\&=&370779904362^{3} 7467391974^{3}\\\\\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leqslant &136897813798023990395783317207361432493888\\&=&41632176837064^{3} 40153439139764^{3}\\&=&46756812032798^{3} 32610071299666^{3}\\&=&47409526164756^{3} 31188298220688^{3}\\&=&48305916483224^{3} 28916052994804^{3}\\&=&51094952419111^{3} 15189477616793^{3}\\&=&51471469037044^{3} 8112103002584^{3}\\&=&51518075693259^{3} 5463276442869^{3}\\&=&51530042142656^{3} 4076877805588^{3}\\&=&51538406706318^{3} 1037967484386^{3}\\\\\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leqslant &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=&15695330667573128^{3} 15137846555691028^{3}\\&=&17627318136364846^{3} 12293996879974082^{3}\\&=&17873391364113012^{3} 11757988429199376^{3}\\&=&18211330514175448^{3} 10901351979041108^{3}\\&=&19262797062004847^{3} 5726433061530961^{3}\\&=&19404743826965588^{3} 3058262831974168^{3}\\&=&19422314536358643^{3} 2059655218961613^{3}\\&=&19426825887781312^{3} 1536982932706676^{3}\\&=&19429379778270560^{3} 904069333568884^{3}\\&=&19429979328281886^{3} 391313741613522^{3}\\\\\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leqslant &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=&11410505395325664056^{3} 11005214445987377356^{3}\\&=&12815060285137243042^{3} 8937735731741157614^{3}\\&=&12993955521710159724^{3} 8548057588027946352^{3}\\&=&13239637283805550696^{3} 7925282888762885516^{3}\\&=&13600192974314732786^{3} 6716379921779399326^{3}\\&=&14004053464077523769^{3} 4163116835733008647^{3}\\&=&14107248762203982476^{3} 2223357078845220136^{3}\\&=&14120022667932733461^{3} 1497369344185092651^{3}\\&=&14123302420417013824^{3} 1117386592077753452^{3}\\&=&14125159098802697120^{3} 657258405504578668^{3}\\&=&14125594971660931122^{3} 284485090153030494^{3}\\\\\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leqslant &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=&33900611529512547910376^{3} 32696492119028498124676^{3}\\&=&38073544107142749077782^{3} 26554012859002979271194^{3}\\&=&38605041855000884540004^{3} 25396279094031028611792^{3}\\&=&39334962370186291117816^{3} 23546015462514532868036^{3}\\&=&40406173326689071107206^{3} 19954364747606595397546^{3}\\&=&41606042841774323117699^{3} 12368620118962768690237^{3}\\&=&41912636072508031936196^{3} 6605593881249149024056^{3}\\&=&41950587346428151112631^{3} 4448684321573910266121^{3}\\&=&41960331491058948071104^{3} 3319755565063005505892^{3}\\&=&41965847682542813143520^{3} 1952714722754103222628^{3}\\&=&41965889731136229476526^{3} 1933097542618122241026^{3}\\&=&41967142660804626363462^{3} 845205202844653597674^{3}\end{matrix}}

Des bornes supérieures de $\operatorname {Ta} (n)$ ont également été trouvées pour tous les entiers $n$ compris entre 13 et 22. On a ainsi :

\operatorname {Ta} (13)\leq 10^{65}

\operatorname {Ta} (14)\leq 10^{73}

\operatorname {Ta} (15)\leq 10^{81}

\operatorname {Ta} (16)\leq 10^{91}

\operatorname {Ta} (17)\leq 10^{102}

\operatorname {Ta} (18)\leq 10^{113}

\operatorname {Ta} (19)\leq 10^{123}

\operatorname {Ta} (20)\leq 10^{133}

\operatorname {Ta} (21)\leq 10^{147}

\operatorname {Ta} (22)\leq 10^{160}

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

(en) D. J. Bernstein, « Enumerating solutions to p(a) q(b) = r(c) s(d) », Math. Comp., vol. 70, n^o 233,‎ 2001, p. 389-394 (DOI 10.1090/S0025-5718-00-01219-9)